Barisan dan Bilangan Aritmatika dan Geometri

Barisan Bilangan  | Barisan bilangan merupakan salah satu bentuk cabang ilmu matematika yang merupakan bentuk materi  kelanjutan dari pola bilangan yang telah kita pelajari pada pembahasan sebelumnya . Barisan bilangan terdiri atas barisan aritmatika dan barisan geometri . Sebelum mempelajari secara rinci atau secara mendalam , maka kita terlebih dahulu mempeljari pengertian daripada barisan bilangan .

Barisan Bilangan Aritmatika Dan Geometri 

A. Pengertian Barisan Bilangan 

Barisan bilangan yaitu suatu daftar bilangan dari sebelah kiri ke kanan yang memiliki pola tertentu . Setiap aggota dari barisan bilangan di sebut dengan suku bilangan atau yang biasa dilambangkan dengan ” U

Contoh :3,4,5,6,7,8,9,10, . . . .1,2,4,8,16,32 ,. . . .

B. Macam – macam Barisan Bilangan 

Barisan bilangan terbagi atas dua macam yaitu :

1. Barisan bilangan Aritmatika
2. Barisan bilangan Geometri

C. Definisi Barisan Bilangan Aritmatika Dan geometri 

1. Barisan Bilangan Aritmatika ( penjumlahan ) 

Barisan bilangan aritmatika , yaitu barisan yang selisih antar suku yang berdekatan konstan atau barisan aritmatika disebut juga bilangan yang suku selanjutnya merupakan penjumlahan dari suku sebelumnya dengan rasio .

• Bentuk barisan aritmatika 

a. Barisan aritmatika berderajat satu 

Secara umum, barisan aritmatika ditulis sebagai berikut :

a , a+b , a+2b , a+3b , a+4b , . . . .

U1 = a

U2 = a+2b

U3 = a+3b

U4 = a+ 4b

U10= a + 9b

Jadi , diperoleh Rumus barisan aritmatika sebagai berikut :

• Rumus Barisan Aritmatika 

Un = a + ( n – 1 ) b 

b = Un -U(n-1)    atau     b= U(n+1) – Un 

Keterangan :

Un = suku ke n

n = banyaknya suku

a = suku pertama

b = rasio atau beda

Contoh Soal 

1. 7 , 13 , 19 , 25 , 31 , 37 , . . .

Dari barisan bilangan di atas , tentuka :

a.) a

b.) b

Penyelesaian :

a.) a = suku pertama maka a = 7

b.) b = U2 – U1

         = 13 – 7

   b   = 6

2. Suatu arisan aritmatika suku ke-3 = 13 dan suku ke -6 = 28 . Tentukan :

a.) b

b.) a

c.) U8

d.) Tulislah enam suku pertama

Penyelesaian :

Diketahui : U3 = 13 dan U6= 28

Jawab :

a. ) U3 = 13 ->> a + 2b = 13

     U6 = 28 ->> a + 5b = 28   _

                                 -3b = – 15

                                     b = -15 / -3

                                     b = 5

b.) a + 2b = 13

     a + ( 2.5) = 13

     a + 10 = 13

      a    = 3

c.) Un = a + (n-1)b

     U8 = a + 7b

            = 3 + 7 . 5

            = 38

d.) 3 ,8 , 13 , 18 , 23 , 28 , . . .

b. Barisan aritmatika berderajat dua 

Barisan aritmatika berderajat dua , yaitu barisan aritmatika yang beda atau rasionya tidak tetap dan dan apabila beda tersebut dijadikan barisan maka akan terbentuk rasio yang tetap atau mengalami dua tahap baru diketahui beda atau rasio yang sama atau tetap .

Rumus umum barisan aritmatika berderajat dua :

Un = an2  + bn + c

Contoh :

1 , 3 , 6 , 10 , 15 , .. . .

Dari barisan aritmatika diatas , tentukan :

a.) Un

b.) U20

Penyelesaian :

Barisan di atas merupakan barisan aritmatika berderajat dua , karena dua tahap baru sama rasionya .

Misal Un =  an2  + bn + c

U1 = 1 –> a + b + c = 1   . . . . .(1)

U2 = 3 –> 4a + 2b + c = 3 . . . (2)

U3 = 6 –> 9a + 3b + c = 6 . . .(3)

• Dari persamaan ( 2 ) dan (1 )

4a + 2b + c = 3

a + b + c = 1   _

3a + b = 2  . . . .( 4 )

• Dari persamaan ( 3 ) dan ( 2 )

9a + 3b + c = 6

4a + 2b + c = 3  _

5a + b = 3  . .  . . ( 5 )

• Dari persamaan ( 5 ) dan ( 4 )  untuk mencari nilai a

5a + b = 3

3a + b = 2  _

2a = 1

a = 1/2

• mencari nilai b  , maka gunakanlah salah satu persamaan dan kali ini supaya mempermudah maka gunakan persamaan (4 )

3a + b = 2

3.1/2 + b =2

1 1/2 + b = 2

b = 1/2

• mencari nilai c , maka gunakanlah persamaan ( 1 )

a + b + c = 1

1/2 + 1/2 + c = 1

1 + c = 1

c = 0

• mencari Un , maka gunakanlah persamaan misal , yaitu

Un =  an2  + bn + c

       = 1/2n2  + 1/2n + 0

      = 1/2 n ( n + 1 )

jadi , jawaban nya adalah :

a.) Un =  1/2 n ( n + 1 )

b.) U20 = . . .?

Un =  1/2 n ( n + 1 )

U20 = 1/2 .20 ( 20 + 1 )

        =  10 ( 21 ) = 210

2. Barisan Bilangan Geometri  ( perkalian ) 

Barisan Bilangan Geometri , yaitu suatu barisan bilangan yang suku – sukunya terdiri dari atau terbentuk dari perkalian antara rasio dengan suku sebelumnya .

Bentuk umum dari suatu barisan geometri adalah :

a , a.r , a.r2 , a.r3 , a.r4 , a.r5  , . . . . .

U1 = a

U2 = a.r

U3 = a.r2

U4 =  a.r3

U10 = a.r9

Jadi , Rumus Barisan bilangan Geometri  secara umum adalah

Un = a.rn-1

Contoh soal :

1. Sebuah barisan geometri , diketahui U3 = 18 dan U6 = 486 . Tentukan :

a.) a dan r

b.) U7

c.) Tulislah tujuh suku pertama

Penyelesaian :

Diketahui : U3 = 18     U6 = 486

Jawab :

a.)  U3 = 18 –> a.r2  = 18

     U6 = 486  –> a.r 5  = 486

U6 / U3 = 486 / 18   —->  a.r 5  / a.r2   =  486 / 18

                                    —–> r3     =  27

                                               r = 3

 a.r2  = 18

a. 32 = 18

a = 2

b.) U7 = a.r 6

             = 2 .3 6   = 2 . 729 = 1458

c.) tujuh suku pertama yaitu :

2 , 6 , 18 , 54 , 162 , 486 , 1458 , . . .

Demikian , penjelasan mengenai barisan dan bilangan aritmatika dan geometri . Inti atau kunci dari pembahasan kali ini adalah bahwasannya pertama kali kita kenali bagaimana bntuk barisan aritmatika dan bagaimana bentuk barisan geometri . Setelah faham , maka selanjutnya baru pelajari bagaimana rumus – rumusnya dan apa saja komponen – komponen yang ada di dalamnya . Sesungguhnya , untuk membedakan barisan aritmatika dan geometri sangatlah mudah yaitu apabila antara suku yang satu dengan yang lain merupakan hasil dari pembeda di tambah dengan suku sebelumnya maka bentuk ini disebut dengan barisan bilangan aritmatika . Sebaliknya , apabila suku pada suatu barisan bilangan merupakan hasil kali dari suku sebelumnya dengan pembeda maka bentuk ini disebut dengan barisan bilangan geometri .

Contoh Makalah Sejarah Indonesia: Terbenruknya Kepulauan Indonesia

DAFTAR ISI

Ø PENDAHULUAN

           HALAMAN COVER   :-----------------------------------------------------------------1

           KATA PENGANTAR  :-----------------------------------------------------------------2

           DAFTAR ISI               :---------------------------------------------------------------- -3

           LATAR BELAKANG  :------------------------------------------------------------------4

Ø ISI

           MATERI KEPULAUAN INDONESIA :-------------------------------------------- --5

           MANFAAT & KENDALA :------------------------------------------------------------ 7

Ø PENUTUP

KESIMPULAN         :-------------------------------------------------------------------7

SARAN                    :-------------------------------------------------------------------7

DAFTAR PUSTAKA:-------------------------------------------------------------------7

LATAR BELAKANG

Terbentuknya Kepulauan Indonesia karena meluasnya Daratan.
Ketika bumi masih labil, masih sering terjadi perubahan-perubahan pada kulit bumi dan sering terjadi pula proses letusan gunung berapi, erosi, pengendapan, serta pengangkatan pegunungan. Sehingga, secara otomatis terjadi pula perubahan relief bumi yang asalnya dataran tinggi berubah menjadi dataran rendah, atau sebaliknya, ditambah lagi dengan adanya gerakan dari dalam bumi (endogen) dan dari luar kulit bumi (eksogen). Kedua gerakan ini menyebabkan terjadinya pegunungan
ataupun daratan yang tadinya terletak di bawah permukaan laut, kemudian terangkat dan akhirnya daratan menjadi makin luas.
Terbentuknya Kepulauan Indonesia pada awalnya, Kepulauan Indonesia bagian barat bersatu dengan Benua Asia. Sedangkan, Indonesia bagian timur bergabung dengan Benua Australia.
Untuk Kepulauan Sulawesi, Maluku, dan Nusa Tenggara merupakan kepulauan asli, tidak tergabung dengan kedua benua tersebut karena telah dikelilingi oleh laut-laut yang dalam. Kemudian, mencairnya es di kutub menyebabkan permukaan air laut naik. Mencairnya es di kutub disebabkan oleh pemanasan bumi secara global.
Akibatnya, daratan yang menghubungkan antara Kepulauan Indonesia dengan kedua benua tersebut menjadi tergenang air laut. Bekas daratan yang tadinya menghubungkan Indonesia bagian
barat dengan Benua Asia sekarang disebut Paparan Sunda, sedangkan bekas daratan yang menghubungkan Indonesia bagian timur dengan Benua Australia disebut Paparan Sahul.

TERBENTUKNYA KEPULAUAN INDONESIA

Indonesia merupakan negara kepulauan yang berbentuk republik, terletak di kawasan Asia Tenggara. Indonesia memiliki lebih kurang 17.000 buah pulau dengan luas daratan 1.922.570 km2 dan luas perairan 3.257.483 km2 Berdasarkan posisi geografisnya, negara Indonesia memiliki batas-batas: Utara - Negara Malaysia, Singapura, Filipina, Laut Cina Selatan. Selatan - Negara Australia, Samudera Hindia. Barat - Samudera Hindia. Timur - Negara Papua Nugini, Timor Leste, Samudera Pasifik.

Sebuah teori geologi kuno menyebutkan, proses terbentuknya daratan yang terjadi di Asia belahan selatan adalah akibat proses pergerakan anak benua India ke utara yang bertabrakan dengan lempeng bumi bagian utara. Pergerakan lempeng bumi inilah yang kemudian melahirkan gunung Himalaya. Konon proses yang terjadi pada 20 – 36 juta tahun yang silam itu menyababkan sebagian anak benua diselatan terendam air laut, sehingga yang muncul di permukaaan adalah gugusan - gugusan pulau (Nusantara ) yang merupakan mata rantai gunung berapi.

Menurut Ilmu Kebumian, pembentukan kepulauan Indonesia terkait dengan teori tektonik lempeng. Tektonik lempeng adalah teori yang menjelaskan pergerakan dikulit bumi sehingga memunculkan bentuk permukaan bumi seperti yang sekarang diami.   Pergerakan diawali dengan menunjamnya lempeng dasar samudera yang disebabkan oleh desakan lempeng benua yang lebih tebal dan keras dan ditempat inilah terbentuk palung laut .  Dampak dari pergerakan lempeng terhadap wilayah Indonesia menjadi rawan akan gempa bumi (namun juga kaya sumber daya mineral). Padahal Indonesia terletak pada pertemuan empat lempeng besar dunia (Lempeng Eurasia, Indo Australia, Filipina dan Pasifik ).

Lempeng – lempeng itu selalu bergerak 5-9 cm pertahun dan karena massa batuan yang bergerak besar maka energy yang dihasilkan besar pula. Hal tersebut berdampak bukan hanya pada banyaknya aktivitas vulkanis dan tektonis di Indonesia, tapi juga tenaga besar yang terjadi pada fenomena-fenomena tersebut.

Adanya pergerakan subduksi antara dua lempeng kemudian menyebabkan  terbentuknya deretan gunung berapi dan parit samudera.

Demikian pula subduksi antara lempeng Indo Australia dan lempeng Eurasia menyababkan terbentuknya deretan gunung berapi yang tak lain adalah Bukit Barisan di Pulau Sumatera dan deretan gunung api di sepanjang Pulau Jawa, Bali dan Lombok, serta parit samudera yang tak lain adalah parit Jawa (Sunda).

            Lempeng tektonik terus bergerak hingga suatu saat gerakanya mengalami gesekan atau benturan yang sangat keras. Fenomena seperti inilah yang dapat menimbulkan gempa, tsunami dan meningkatnya kenaikan magma ke permukaan bumi. Dari tiga tipe batas lempeng yang dikenal ( Konvergen, Divergen, dan Shear)

Terbentuknya kepulauan Indonesia dapat dijelaskan sebagai batas lempeng konvergen dimana terjadi tumbukan antara lempeng Indo Australia dari selatan, lempeng Pasifik dari timur, lempeng Asia dari utara. Sedangkan pulau-pulau kecil terbentuk karena berasal dari endapan pecahan kerang, koral, dan binatang laut lainnya. Semakin lama semakin besar dan akhirnya terbentuklah sebuah pulau baru.

MANFAAT & KENDALA

Manfaat mempelajari sejarah terbentuknya kepulauan Indonesia :

·        Kegunaan Edukatif, sebagai bahan pelajaran, pengetahuan,dan pengalaman

·        Kegunaan Inspiratif, sejarah dapat memberikan inspirasi bagi pembaca dan pendengarnya

·        Kegunaan Rekreatif,sejarah bisa memberikan kami suatu hiburan yang segar

Kendala mempelajari sejarah terbentuknya kepulauan Indonesia:

·        Sulit memahami kata-kata yang menggunakan bahasa asing,

·        Sulit menghafalkan kata-kata yang menggunakan bahasa asing.

KESIMPULAN

·        Keragaman bentuk muka bumi merupakan hasil kerja dari dua tenaga pembentuk muka bumi yaitu tenaga endogen dan tenaga eksogen.

·        Tenaga endogen adalah tenaga yang berasal dari dalam bumi berupa vulkanisme, diastropisme dan seisme.sedangkan tenaga eksogen yang mengubah bentuk muka bumi dipengaruhi oleh tigaproses yaitu pelapukan, erosi dan sedimentasi.

SARAN

Kami harap, makalah ini bisa bermanfaat bagi kita semua, dan dapat menjadi sebuah ilmu pengetahuan. Jika ada kesalahan kami mohon maaf yang sebesar-besarnya. Kami berharap anda bisa membantu kami untuk memperbaiki makalah adar makalah ini menjadi lebih baik.

DAFTAR PUSAKA

·        Buku Sejarah Indonesia Kelas X

·        http://arif-kumpulanmakalah.blogspot.com/2011/06/makalah-